আমরা এ পর্যন্ত${\left(1+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${\left(x+y\right)}^n$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${\left(x+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${\left(1+y\right)}^n=1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)y+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)y^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)y^3+............+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)y^n$

এখন, ${\left(x+y\right)}^n={\left[x\left(1+\frac{y}{x}\right)\right]}^n=x^n{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^n$

$$\begin{gathered} \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n\left[1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^3+...........+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^n\right] \\ \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n\left[1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\frac{y^2}{x^2}+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\frac{y^3}{x^3}+......+\frac{y^n}{x^n}\right] \left[\because \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=1\right] \\ =x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y^n}{x^2}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y^3}{x^3}\right)+......+x^n.\frac{y^n}{x^n} \\ {\left(x+y\right)}^n=x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}y+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{y}^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)x^{n-3}{y}^3+........+y^n \end{gathered}$$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি${\left(1+y\right)}^n$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${\left(x+y\right)}^5$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${\left(3+2x\right)}^5$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^5=x^5+\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)x^{4}y+\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)x^3{y}^2+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)x^2{y}^3+\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)x{y}^4+y^5 \\ =x^5+5x^{4}y+\frac{5.4}{1.2}{x}^3{y}^2+\frac{5.4.3}{1.2.3}{x}^2{y}^3+\frac{5.4.3.1}{1.2.3.4}x{y}^4+y^5 \\ =x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5 \end{gathered}$$

$\therefore$নির্ণেয় বিস্তৃতি ${\left(x+y\right)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5$

এখন $x=3$ এবং $y=2x$ বসাই

$$\begin{gathered} {\left(3+2x\right)}^5=3^5+5.3^4\left(2x\right)+10.3^3.{\left(2x\right)}^2+10.3^2{\left(2x\right)}^3+5.3\left(2x\right)+{\left(2x\right)}^5 \\ =243+810x+1080x^2+720x^3+240x^4+32x^5 \\ \therefore {\left(3+2x\right)}^5=243+810x+1080x^2+720x^3+240x^4+32x^5 \end{gathered}$$

 উদাহরণ ৪. ${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $\mathrm{x}$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$$\begin{gathered} {\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6=x^6+\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)x^4{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)x^3{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^3+....... \\ =x^6+6x^3+\frac{6.5}{1.2}{x}^4\frac{1}{x^4}+\frac{6.5.4}{1.2.3}{x}^3\frac{1}{x^6}+...... \\ =x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+....... \end{gathered}$$
$\therefore$নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+......$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$
 

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2=2.1, 6=3.2.1, 24=4.3.2.1!, 120=5.4.3.2.1,...$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2=2.1=2!, 6=3.2.1=3!, 24=4.3.2.1=4!, 120=5.4.3.2.1=5!.....$

এখন লক্ষ করি:
$$\begin{gathered} 4!=4.3.2.1=4.\left(4-1\right).\left(4-2\right).\left(4-3\right) \\ 5!=5.4.3.2.1=5.\left(5-1\right).\left(5-2\right).\left(5-3\right).\left(5-4\right) \end{gathered}$$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n!=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right).......... 3. 2. 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5.4.3}{1.2.3}=\frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3).\left(2.1\right)}=\frac{5!}{3!\times 2!}=\frac{5!}{3!\times \left(5-3\right)!}$

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7.6.5.4}{1.2.3.4}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{\left(1.2.3.4\right).\left(3.2.1\right)}=\frac{7!}{4!\times 3!}=\frac{7!}{4!\times \left(7-4\right)!}$

$\therefore$সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}={}^{n}C_r$

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7!}{4!\left(7-4\right)!}={}^{7}C_4$ এবং $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}={}^{5}C_3$

সুতরাং, $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r$ অর্থাৎ,$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ ও ${}^{n}C_r$এর মান এক।

আমরা জানি$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)={}^{n}C_n=\frac{n!}{n!\left(n-n\right)!}=\frac{n!}{n!\left(0\right)!}=\frac{1}{0!} \\ \therefore 1=\frac{1}{0!}, \end{gathered}$$

অর্থাৎ $0!=1$

মনে রাখতে হবে

$$\begin{gathered} n!=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)........3.2.1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r, {}^{n}C_r=1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}, \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)={}^{n}C_0=1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)={}^{n}C_n=1, 0!=1 \end{gathered}$$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ কে ${}^{n}C_r$ দ্বারা প্রকাশ করব।
$$\begin{gathered} {\left(1+y\right)}^n=1+{}^{n}C_{1}y+{}^{n}C_2{y}^2+{}^{n}C_3{y}^3+ .........+ {}^{n}C_n{y}^n \\ \Rightarrow {\left(1+y\right)}^n=1+ny+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{y}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}{y}^3+....... +y^n \end{gathered}$$

এবং অনুরূপভাবে,
$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^n=x^n+{}^{n}C_1{x}^{n-1}y+{}^{n}C_2{x}^{n-2}{y}^2+{}^{n}C_3{x}^{n-3}{y}^3+.......+{}^{n}C_r{x}^{n-r}{y}^r+.......+{}^{n}C_n{y}^n \\ \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n+n{x}^{n-1}y+\frac{n(n-1)}{1.2}{x}^{n-2}{y}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}{x}^{n-3}{y}^3+..........+y^n \end{gathered}$$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${\left(1+y\right)}^n$ এর সাধারণ পদ বা $\left(r+1\right)$ তম পদ $T_{r+1}=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)y^r$ বা  ${}^{n}C_r{y}^r$
এখানে,$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ বা ${}^{n}C_r$ দ্বিপদী সহগ।
$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^n=x^n+{}^{n}C_1{x}^{n-1}y+{}^{n}C_2{x}^{n-2}{y}^2+{}^{n}C_3{x}^{n-3}{y}^3+...........+{}^{n}C_n{y}^n \\ \Rightarrow {\left(x+y\right)}^n=x^n+n{x}^{n-1}y+\frac{n\left(n-1\right)}{1.2}{x}^{n-2}{y}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1.2.3}{x}^{n-3}{y}^3+........+y^n \end{gathered}$$
সাধারণ পদ বা  $\left(r+1\right)$ তম পদ $T_{r+1}=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^{n-r}{y}^r$ যেখানে $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ বা${}^{n}C_r$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^5$কে বিস্তৃত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

$$\begin{gathered} {\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^5=x^5+{}^{5}C_1{x}^{5-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)+{}^{5}C_2{x}^{5-2}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2+{}^{5}C_3{x}^{5-3}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+{}^{5}C_4{x}^{5-4}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5 \\ =x^5-5x^4.\frac{1}{x^2}+\frac{5.4}{1.2}{x}^3.\frac{1}{x^4}-\frac{5.4.3}{1.2.3}{x}^2\frac{1}{x^6}+\frac{5.4.3.2}{1.2.3.4}x\frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}} \\ =x^5-5x^2+\frac{10}{x}-\frac{10}{x^4}+\frac{5}{x^7}-\frac{1}{x^{10}} \end{gathered}$$